BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang.
Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang
banyak berisi: pengertian, keputusan, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Inti
ajaran Aristoteles mengenai logika adalah Syllogismus, yaitu keputusan kedua
yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang
dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi
tonggak pemikiran logika.
Pada abad ke-18 Masehi, G.W. Leibniz, seorang ahli
matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli
matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah
George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani
‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti
ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang
ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).
Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari
pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya
disebut dengan penalaran.
Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu
pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama
maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika sekarang
adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika sekolah libur
maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini tentu kita
perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan ada dua
pernyataan “Jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia berprestasi
di kelas maka ia disayangi guru-gurunya.” Lalu, apakah dari dua pernyataan ini
kita dapat menyimpulkan “Jika ia anak pandai maka ia disayangi guru-gurunya.”?
Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika.
Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai
benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari
logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan
benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan
kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
B.
Rumusan Masalah.
Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini
adalah
1. Apa yang dimaksud pernyataan dan kalimat terbuka?
2. Operasi-operasi apa saja yang terdapat dalam logika matematika?
3. Bagaimana konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi?
4. Apa yang dimaksud tautologi dan kontradiksi?
5. Apa yang dimaksud pernyataan berkuantor?
6. Bagaimana cara menarik kesimpulan?
C.
Tujuan.
Adapun
tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui nilai kebenaran dari suatu pernyataan, operasi-operasi yang terdapat
dalam logika matematika, mengetahui konvers, invers dan kontraposisi dari suatu
implikasi, mengetahui mengenai tautologi dan kontradiksi, pernyataan berkuantor
serta cara pengambilan kesimpulan dalam logika matematika.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pernyataan dan Kalimat Terbuka
1. Pernyataan
Pernyataan
adalah kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak
sekaligus benar dan salah. Kebenaran atau kesalahan sebuah pernyataan dinamakan
nilai kebenaran dari pernyataan tersebut. Suatu pernyataan biasanya
dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r, dan seterusnya. Setiap
pernyataan adalah kalimat, tetapi tidak semua kalimat merupakan pernyataan.
Contoh :
a. Jakarta adalah ibu kota Negara Republik Indonesia.
b. 5 adalah bilangan genap.
c. Kemana anda pergi?
Kalimat (a)
merupakan pernyataan yang bernilai benar, kalimat (b) merupakan pernyataan yang
bernilai salah dan kalimat (c) bukan merupakan pernyataan, karena tidak
bernilai benar atau salah
Kalimat-kalimat yang tidak termasuk pernyataan,
adalah:
·
Kalimat
perintah
·
Kalimat
pertanyaan
·
Kalimat
keheranan
·
Kalimat
harapan
·
Kalimat
……walaupun…..
2. Kalimat
Terbuka
Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum dapat
ditentukan nilai benar atau salahnya. Variabel adalah simbol untuk menunjukkan suatu
anggota yang belum spesifik dalam semesta pembicaraan. Untuk memahami
pengertian kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut.
a. 2 x + 3 = 11
b. y – 3 < 9
c. Kota itu bersih, indah dan teratur.
Kalimat-kalimat
di atas merupakan kalimat terbuka karena belum dapat ditentukan benar atau
salahnya. Pada kalimat (a), jika
kita ganti variabel x dengan 3 maka kalimat (a) tidak lagi berupa kalimat terbuka, sekarang (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai
salah tetapi jika kita ganti variabel x dengan 4 maka (a) adalah suatu pernyataan yang bernilai benar. Jika kita ganti
variabel “itu” pada kalimat (c) dengan Jakarta, maka (c) belum menjadi
pernyataan karena tetap harus diselidiki nilai kebenarannya.
B.
Operasi Logika
1. Negasi
Negasi
(ingkaran) adalah suatu pernyataan baru yang dapat dibentuk dari pernyataan
semula sehingga bernilai benar jika pernyataan semula salah dan bernilai salah
jika pernyataan semula benar.
Jika pada suatu
pernyataan p, diberikan pernyataan lain yang disebut negasi p, dilambangkan
oleh ~p, maka dapat dibentuk dengan menuliskan “Tidak benar…” di depan
pernyataan p atau jika mungkin, dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”di
dalam pernyataan p.
Nilai kebenaran
negasi suatu pernyataan memenuhi sifat berikut ini: Jika p benar, maka ~p
salah; jika p salah maka ~p benar. Jadi, nilai kebenaran negasi suatu
pernyataaan selalu berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula. Sifat
tersebut dapat dituliskan dalam bentuk tabel berikut ini.
p
|
~p
|
B
S
|
S
B
|
Contoh:
a.
p : Semua
bilangan prima adalah ganjil.
~p : Tidak
benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil.
~p : Ada
bilangan prima yang tidak ganjil.
b.
q : 2
+ 2 = 5
~q : Tidak
benar 2 +2 =5
~q : 2 + 2
¹ 5
2. Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan gabungan dari dua
pernyataan dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p
dan q dinotasikan oleh “p Ù q”.
Nilai kebenaran konjungsi p Ù q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q
benar, maka p Ù q benar; sebaliknya, jika salah satu p atau q salah
serta p salah dan q salah, maka p Ù q salah. Dengan perkataan lain, konjungsi dua
pernyataan akan bernilai benar hanya bila setiap pernyataan bagiannya bernilai
benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Ù q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
Contoh :
a.
p : 2
+ 3 = 5 (benar)
q : 5
adalah bilangan prima (benar)
p Ù q : 2 + 3 = 5 dan 5 adalah bilangan prima (benar)
b.
p : 12
habis dibagi 3 (benar)
q : 15
habis dibagi 2 (salah)
p Ù q : 12 habis dibagi 3 dan 15 habis dibagi 2 (salah)
3. Disjungsi
Disjungsi adalah
pernyataan gabungan dari dua pernyataan dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi
dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Ú q”.
Nilai kebenaran disjungsi p Ú q memenuhi sifat berikut ini: jika p benar dan q
benar serta salah satu diantara p dan q benar, maka p Ú q benar. Jika p dan q dua-duanya salah maka p Ú q salah. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel
berikut.
p
|
q
|
p Ú q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
B
B
S
|
Contoh :
a.
p : 5
+ 3 = 8 (benar)
q : 8
adalah bilangan genap (benar)
p Ú q : 5 + 3 =
8 atau 8 adalah bilangan genap (benar)
b.
p : 5
+ 3 ¹ 8 (salah)
q : 8
bukan bilangan genap (salah)
p Ú q : 5 + 3 ¹ 8 atau 8 bukan bilangan genap (salah)
4. Implikasi
Implikasi
(pernyataan bersyarat/kondisional) adalah pernyataan majemuk yang disusun dari
dua buah pernyataan dengan menggunakan kata hubung logika “jika . . . maka . .
.”. Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan oleh “p Þ q”, dapat dibaca “jika p maka q”.
Nilai kebenaran implikasi p Þ q memenuhi sifat berikut: jika p benar dan q salah,
maka p Þ q dinyatakan salah. Dalam kemungkinan yang lainnya p Þ q dinyatakan benar. Untuk lebih jelasnya perhatikan
tabel berikut.
p
|
q
|
p Þ q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
Contoh :
a.
p : 5
+ 3 = 8 (benar)
q : 8
adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 = 8 maka 8 adalah bilangan genap
(benar)
b.
p : 5
+ 3 ¹ 8 (salah)
q : 8
adalah bilangan genap (benar)
p Þ q : jika 5 + 3 ¹ 8 maka 8 adalah bilangan genap (benar)
5. Biimplikasi
Jika dua
pernyataan p dan q dirangkai dengan menggunakan dengan kata hubung “… jika dan
hanya jika …”, maka diperoleh pernyataan baru yang berbentuk “p jika dan hanya
jika q” yang disebut biimplikasi. Biimplikasi dari pernyataan p dan q
dinotasikan oleh “p Û q”.
Nilai kebenaran biimplikasi p Û q memenuhi sifat berikut: p Û q dinyatakan benar jika p dan q mempunyai nilai
kebenaran yang sama. p Û q dinyatakan salah jika mempunyai nilai kebenaran
yang tidak sama. Untuk lebih jelasnya perhatikan tabel berikut.
p
|
q
|
p Û q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
B
|
Contoh:
a.
p : 2
+ 6 = 8 (benar)
q : 2
< 8 (benar)
p Û q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (benar)
b.
p : 2
+ 6 ¹ 8 (salah)
q : 2
> 8 (salah)
p Û q : 2 + 6 ¹ 8 jika dan hanya jika 2 > 8 (benar)
C.
Konvers, Invers dan Kontraposisi suatu Implikasi
Dari suatu
implikasi p Þ q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
1.
q
Þ p, yang disebut konvers dari p Þ q.
2.
~p
Þ ~q, yang disebut invers dari p Þ q.
3.
~q
Þ ~p, yang disebut kontraposisi dari p Þ q.
Tabel kebenaran hubungan antara implikasi-implikasi tersebut
adalah:
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
|
||||
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p Þ q
|
q Þ p
|
~p Þ ~q
|
~q Þ ~p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
B
S
B
B
|
B
B
S
B
|
B
B
S
B
|
B
S
B
B
|
Dari
tabel kebenaran terlihat bahwa nilai kebenaran p Þ
q sama dengan nilai kebenaran ~q Þ
~p. Begitu pula nilai kebenaran q Þ
p sama dengan nilai kebenaran ~p Þ ~q.
D.
Tautologi dan Kontradiksi
Suatu proposisi
yang hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu benar untuk
setiap nilai kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi. Sebaliknya proposisi disebut kontradiksi, jika kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya
memuat S untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya.
Tabel kebenaran tautologi.
p
|
~p
|
p Ú ~p
|
B
S
|
S
B
|
B
B
|
Tabel kebenaran kontradiksi.
p
|
~p
|
p Ù ~p
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
E.
Pernyataan Berkuantor
Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah.
Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau
jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena
kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu
kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor Universal
Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut
pernyataan berkuantor universal. Kata semua
atau setiap disebut kuantor
universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor
universal.
a. Semua kuda berlari cepat.
b. Setiap bilangan asli lebih besar daripada nol.
Kalimat terbuka p(x)
dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat
terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan.
Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan
membubuhkan kuantor universal di depan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x)
adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x)
dituliskan sebagai berikut.
" x, p(x)
dibaca: untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk
semua x berlakulah p(x)
Kuantor Eksistensial
Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut
pernyataan berkuantor eksistensial. Kata beberapa
atau ada disebut kuantor
eksistensial. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor
eksistensial.
a. Ada bis kota yang bersih.
b. Beberapa dinding rumah terbuat dari papan kayu.
Seperti halnya pada kuantor universal, kuantor
eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi
pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan
penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut.
$ x, p(x)
dibaca: beberapa x berlakulah p(x) atau ada x
berlakulah p(x)
Ingkaran Kuantor Universal
Perhatikan contoh berikut.
p : Semua kucing berwarna putih
ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua
kucing berwarna putih, atau
~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih
Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari
pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor
eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat
ditentukan sebagai berikut.
~[" x, p(x)] º $ x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)”
ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”
Ingkaran Kuantor
Eksistensial
Perhatikan contoh berikut.
p : Ada pria yang menyukai sepak bola
ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang
menyukai sepak bola, atau
~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola
Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari
pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor
universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat
ditentukan sebagai berikut.
~[$ x, p(x)] º " x, ~p(x)
dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)”
ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”
F.
Penarikan Kesimpulan
Modus ponens,
modus tollens dan silogisme adalah metode atau cara yang digunakan dalam
penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa
pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian dengan
menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut
kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan
kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi.
Suatu
argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris
dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara
premis-premis dengan konklusi. Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui
(premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut.
a ……. premis 1
b ……. premis
2
\c ……. kesimpulan/konklusi
Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c
sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda \ dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”.
1. Modus
Ponens
Misalkan
diketahui premis-premis p Þ q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil
konklusi q. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens
atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
p ……. premis 2
\ q ……. kesimpulan/konklusi
2. Modus
Tollens
Misalkan
diketahui premis-premis p Þ q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil
konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus
tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan
sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
~q ……. premis 2
\ ~p ……. kesimpulan/konklusi
3. Silogisme
Misalkan
diketahui premis-premis p Þ q dan q Þ r. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi p Þ r. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu
disebut kaidah silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.
p Þ q ……. premis 1
q Þ r ……. premis 2
\ p Þ r ……. kesimpulan/konklusi
G.
Pembahasan Soal Logika Matematika Berdasarkan Soal UN
Th. 2010/2011 Tingkat SMA
Soal UN Tahun 2010/2011 Tingkat SMA Program Studi IPA
1.
Diketahui:
Premis 1
: Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian
Premis 2
: Jika Adi lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN
Penarikan
kesimpulan dari premis–premis tersebut adalah…
A.
Jika Adi rajin belajar maka Adi
dapat diterima di PTN
B.
Adi tidak rajin belajar atau
Adi dapat diterima di PTN
C.
Adi rajin belajar tetapi Adi
tidak dapat diterima di PTN
D.
Adi tidak rajin belajar
tetapi Adi lulus ujian
E.
Jika Adi tidak lulus ujian
maka Adi dapat diterima di PTN
Jawaban : A
Pembahasan:
Misalkan : p = Adi rajin belajar
q = Adi lulus ujian
r = Adi dapat diterima di PTN
Premis 1 : p Þ q
Premis 2 : q Þ r
Kesimpulan : \ p Þ r
Soal UN Tahun 2010/2011 Tingkat SMA Program Studi IPS
1. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang
dinyatakan dengan (~p Ù q) Þ ~q pada tabel berikut adalah ….
p
|
q
|
(~p Ù q) Þ ~q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
…
…
…
…
|
A. BBSS
B. BSSS
C. BBSB
D. BSBB
E. SBBB
Jawaban
: C
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
~q
|
~p Ù q
|
(~p Ù q) Þ ~q
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
B
S
B
|
S
S
B
S
|
B
B
S
B
|
2. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika semua harta benda Andi terbawa banjir,
maka ia menderita
Premis 2 : Andi tidak menderita
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah
…
A.
Semua
harta benda Andi tidak terbawa banjir
B.
Ada
harta benda Andi yang terbawa banjir
C.
Semua
harta benda Andi terbawa banjir
D.
Ada
harta Andi yang tidak terbawa banjir
E.
Tidak
ada banjir
Jawaban
: A
Pembahasan:
Misalkan : p = semua harta benda Andi terbawa banjir
q = ia menderita
~q = Andi tidak menderita
Premis 1 : p Þ q
Premis 2 : ~q
Kesimpulan : \ ~p
3. Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi dan tidak
senang olah raga”, adalah …
A. Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah raga
B. Ani senang bernyanyi juga senang olah raga
C. Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang olah raga
D. Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah raga
E. Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah raga
Jawaban
: D
Pembahasan:
Misalkan : p = Ani senang bernyanyi
~q = tidak senang olahraga
~ ( p Ù ~q ) º ~p Ú q
H.
Prediksi Soal Logika Matematika Berdasarkan SKL Tingkat
SMA
1. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia kuliah di
perguruan tinggi negeri
Premis 2 : Jika Ani kuliah di perguruan tinggi negeri,
maka Ani menjadi sarjana
Premis 3 : Ani bukan seorang sarjana
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah
…
A. Ani lulus ujian
B. Ani kuliah di perguruan tinggi negeri
C. Ani tidak lulus ujian
D. Ani lulus ujian dan kuliah di perguruan tinggi negeri
E. Ani lulus ujian dan tidak kuliah
Jawaban : C
2. Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika guru matematika tersenyum maka siswa
dapat menyelesaikan soal ujian matematika
Premis 2 : Jika siswa dapat menyelesaikan soal ujian
matematika maka kepala sekolah memberi hadiah
Negasi kesimpulan dari premis-premis tersebut adalah …
A. Jika guru matematika tidak tersenyum maka siswa tidak
lulus ujian
B. Guru matematika tersenyum dan kepala sekolah tidak
memberi hadiah
C. Jika kepala sekolah tidak memberi hadiah maka guru
matematika tidak tersenyum
D. Guru matematika tersenyum atau kepala sekolah tidak
memberi hadiah
E. Jika kepala sekolah tidak memberi hadiah maka siswa tidak
dapat menyelesaikan soal ujian matematika
Jawaban : B
3. Diketahui:
Premis 1 : Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil
Premis 2 : Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya
bahagia
Dari premis-premis tersebut dapat ditarik kesimpulan
yang sah adalah …
A. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil
B. Jika hidup saya bahagia, maka saya jujur
C. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia
D. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur
E. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia
Jawaban : E
4. Diketahui:
Premis 1 : Jika Fadli lulus ujian pegawai atau menikah
maka ayah memberi hadiah uang.
Premis 2 : Ayah tidak memberi hadiah uang
Kesimpulannya ialah …
A. Fadli tidak lulus ujian dan menikah
B. Fadli tidak lulus ujian pegawai dan tidak menikah
C. Fadli tidak lulus ujian pegawai atau menikah
D. Fadli tidak lulus ujian pegawai atau tidak menikah
E. Jika Fadli tidak lulus ujian pegawai maka Fadli tidak
menikah
Jawaban : B
5. Negasi dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu
makan dan minum”, adalah …
A. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
B. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan minum
C. Semua makhluk tidak hidup perlu makan dan minum
D. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu
minum
E. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
Jawaban : E
6. Negasi dari pernyataan “Apabila guru tidak hadir maka
semua murid senang”, adalah …
A. Guru hadir dan semua murid tidak senang
B. Guru hadir dan ada beberapa murid senang
C. Guru hadir dan semua murid senang
D. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak senang
E. Guru tidak hadir dan semua murid tidak senang
Jawaban : D
7. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang
dinyatakan dengan p Ú (q Þ p) pada tabel berikut adalah ….
p
|
q
|
p Ú (q Þ p)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
…
…
…
…
|
A. BBSB
B. BSBB
C. BSSS
D. BBBS
E. BSSB
Jawaban : A
8. Negasi dari pernyataan “semua murid menganggap
matematika sukar” ialah …
A. Beberapa murid menganggap matematika sukar
B. Semua murid menganggap matematika mudah
C. Ada murid yang menganggap matematika tidak sukar
D. Tidak seorangpun murid menganggap matematika sukar
E. Ada murid tidak menganggap matematika mudah
Jawaban : C
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan.
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani
‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti
ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji
penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).
Dalam logika matematika ada dua kalimat yang
penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga
operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain, yaitu konvers,
invers dan kontraposisi. Metode atau cara yang digunakan dalam penarikan
kesimpulan, yaitu modus
ponens, modus tollens dan silogisme.
B.
Saran.
Dengan penyusunan makalah
ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika matematika dapat
diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
Melalui logika, kita dapat mengetahui apakah
suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan
setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil
kesimpulan dengan benar atau sah.
DAFTAR PUSTAKA
Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Lipschutz, Seymour dan George G. hall. 1988. Matematika Hingga. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Cara download nya gimana kak?
ReplyDelete